[알고리즘] 신장 트리, Kruskal 알고리즘

 

Spanning Tree

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그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리를 의미한다. 즉 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다. 신장트리는 코딩테스트에서 그리디 알고리즘 문제로 자주 출제되는 유형 중 하나라고 한다. 

 

위 그림은 신장트리의 예시이며 모든 정점을 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 구조를 띄고 있다. DFS, BFS를 이용하여 그래프에서 신장 트리를 찾을 수 있으며 여러모양의 신장트리가 존재할 수 있다. 따라서 신장 트리는 그래프에 있는 n개의 정점을 n-1개의 간전으로 연결하여야 한다.  신장트리는 일반적으로 통신 네트워크를 구축할때 사용되기도 한다. 

 

 

Kruskal 알고리즘

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신장트리에서 간선들의 가중치 합이 최소인 트리를 말한다. Minimum Spanning Tree (MST)라고 부른다. 각 간선의 가중치를 고려하여 최소 비용의 Spanning Tree를 선택하는 것을 말한다. 즉 모든 정점들을 가장 적은 수의 간선과 비용으로 연결하는 것이다.

 

만약 위와 같은 그래프가 있을때 최소 비용으로 각 노드들을 연결해보도록 한다.

현재 그래프는 노드가 몇개 없어서 간단하다. 여기서 가능한 경우의 수는 3가지이다. 75 + 25, 10 + 25, 75 + 10 이다. 이때 10 + 25인 부분을 연결하게 되면 최소한의 비용으로 노드들을 연결할 수 있다. 여기서 2개의 간선만 이용한 이유는 신장트리에서 간선의 개수는 N-1, 즉 정점의 개수 - 1 개 이기 때문이다. 

 

 

Kruskal Algorithm 구현

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알고리즘의 작업 흐름은 다음과 같다.

 - 비용에 따라 간선을 오름차순으로 정렬

 - 간선을 하나씩 확인하면서 간선이 추가되었을때 사이클이 발생하는지 확인

 - 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 간선 추가

 - 사이클이 발생하는 경우, 최소 신장 트리에 간선을 추가시키지 않음

 

v, e = map(int, input().split())
# 부모 테이블 초기화
parent = [0] * (v+1)
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

# find 연산
def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# union 연산
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 간선 정보 담을 리스트와 최소 신장 트리 계산 변수 정의
edges = []
total_cost = 0

# 간선 정보 주어지고 비용을 기준으로 정렬
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append((cost, a, b))

# 간선 정보 비용 기준으로 오름차순 정렬
edges.sort()

# 간선 정보 하나씩 확인하면서 크루스칼 알고리즘 수행
for i in range(e):
    cost, a, b = edges[i]
    # find 연산 후, 부모노드 다르면 사이클 발생 X으므로 union 연산 수행 -> 최소 신장 트리에 포함!
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        total_cost += cost

print(total_cost)

 

 

Reference

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https://techblog-history-younghunjo1.tistory.com/262

[Python] 최소 신장 트리를 찾는 크루스칼(Kruskal) 알고리즘

https://gmlwjd9405.github.io/2018/08/28/algorithm-mst.html

[알고리즘] 최소 신장 트리(MST, Minimum Spanning Tree)란 - Heee's Development Blog

https://katfun.tistory.com/entry/%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%94%84-%EC%9D%B4%EB%A1%A0

그래프 이론

https://coding-factory.tistory.com/610

[Algorithm] 자료구조 그래프(Graph)란 무엇인가?

https://s0ng.tistory.com/entry/%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%94%84-%EC%9D%B4%EB%A1%A0-%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98-%EB%8B%A4%EC%96%91%ED%95%9C-%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%94%84-%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98

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